以前我肯定会以为这是一个段子，绝不会想到“你在你母亲怀抱里就学会了Fermi’s golden rule”这种话是真实存在的。可是我却最近已听了很多遍了。
- 使用delta函数的时候要盯紧量纲。
- Sackur-Tetrode是一个半经典结果。它带着h，用着方势阱，但是没考虑玻色费米子的问题。它必须得在所有的量子态都只是sparsely occupied的时候才成立。这正是经典极限下的结果。
- Fermi’s golden rule一般称之为是用微扰论推出来的，但实际上必须用重整化才行。换句话说，远没有看上去那么简单。
- Fermi-Dirac，以及Bose-Einstein，都是单粒子的分布，Boltzmann不是。
- 箱归一化，$\lambda = L/n$，$k=2\pi n/L$。自旋使得$g=2$。是故：
- $\sum_n = \int dn = 2V/8\pi^3\int dk_1dk_2dk_3=2\cdot V/8\pi^3\cdot\int4\pi k^2dk$
- $\langle X\rangle = \sum f_kX_k = \text{(above)}\cdot f_kX(k)$，f是单粒子的分布。
- boltzmann分布是对量子态而不是对能级的分布。$f\left(E_{i}\right) \propto P_{i} \Gamma\left(E_{i}\right)$，$P_i$服从玻尔兹曼分布，随能量减；$\Gamma$则大增。相乘，近于正态。
- 正则系综的熵的定义和微正则系综有本质区别。因为系统的能量在涨落，所以对应熵也是涨落的均值$\tilde{S}=\langle-\log P_i\rangle$，而$P_i\sim\exp(-\beta E_i)$（此处下标同样是量子态，不是能级），因此$\tilde{S}=\langle E\rangle/T+\log Z$。Z是矩母函数，我们想主要搞它，自然的，就定义$F=\langle E\rangle -T\tilde{S}$。
- 从微正则到正则，这个涨落并不改变热力学性质。因为$\Delta E\sim C_V^{1/2}\sim N^{1/2}$，故$\Delta E/\langle E\rangle\sim N^{-1/2}$。
- 同样的，在gibbs的话术里面，$P_{i}=\frac{e^{-\left(E_{i}-\mu N_{i}\right) / k_{B} T}}{\Xi}$对应的也是系统处在特定量子态的概率。并且，巨正则熵和微正则熵在形式上也没有区别。因为在正则和巨正则系综，$p_{i}=\frac{1}{\bar{g} \Delta E}$或者$\frac{1}{\bar{g} \Delta E \Delta N}$，其中$\bar g$是E均值附近的量子态数，$\Delta A$是A的分布在均值附近的宽度。实际情况下随着系统变大$\bar g$暴增而$\Delta A\sim N^{1/2}$，所以在算熵的时候前者占优，涨落忽略。
- gibbs在量子力学出来之前给状态数加的$1/N!$他自己居然呼为fudge factor。清教徒的犀利一视同仁