我现在越来越感到自己有一些基础的不牢固，比如向量微积分，积分变换和与格林函数相关的一些知识。所以我首先找来一本小册子来复习最简单的第一部分。这是 Matthews 的《向量微积分》，应该是面向大一的物理系学生的，我应当早些看到这本书。有些东西，我之前没有意识到，每次做计算都走弯路。

第一章介绍向量的概念，以及点积与叉积。介绍了场的概念。

第二章教人怎样做积分。

第三章介绍了散度、梯度和旋度。用∇f⋅r=df\nabla f\cdot\mathbf{r}=df来定义梯度。

第四章介绍了下标写法。引入 Levi-Civita 符号和 Kronecker 符号后，用下标写法计算带有∇\nabla的式子变得比较方便，前提是记住

(a×b)i=ϵijkajbk(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k ϵijkϵklm=δilδjm−δimδjl\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}

以前我记不住诸如

∇×(∇×u)=∇(∇⋅u)−∇2u\nabla\times(\nabla\times\mathbf{u})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u})-\nabla^2\mathbf{u}

这样的式子，手算经常出问题。我知道下标写法很晚，所以以前没有意识到它可以这样简化相关的运算。

第五章介绍了一些“Integral Theorems”但是没有提到广义斯托克斯公式。

第六章讲非 Cartesian 的（正交）坐标系并给出了 grad Div Curl Laplcaian 的做法。

第七章讲 Cartesian 张量。

第八章讲了一些物理应用。在（三维的）连续介质中，存在量纲为压强的应力PijP_{ij}，可以写出 δFi=PijnjδS\delta F_i=P_{ij}n_j\delta S，由力和力矩平衡，得到约束

∂Pij∂xj=0\frac{\partial P_{ij}}{\partial x_j}=0 Pij=PjiP_{ij}=P_{ji}

在固体中存在无量纲的应变，定义为Eij=12(∂vi∂xj+∂vj∂xi)E_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i})，小形变下有胡克定律

Pij=cijklEklP_{ij}=c_{ijkl}E_{kl}

由张量cc的各向同性，最终可以写为

Pij=λδijEkk+2μEijP_{ij}=\lambda\delta_{ij}E_{kk}+2\mu E_{ij}

λ\lambda和μ\mu就是叫做$Lam\'{e}$ 常量的。

在流体当中，径向的应力由压强pp决定，可在PijP_{ij}中消去径向的λ\lambda，即

Pij=−pδij+2μeij−23μδijekkP_{ij}=-p\delta_{ij}+2\mu e_{ij}-\frac{2}{3}\mu\delta_{ij}e_{kk}

μ\mu就是粘度。就此，得到运动方程即N-S方程：

ρDu=b−∇p+μ∇2u+13μ∇∇⋅u\rho\mathrm{D}\mathbf{u}=\mathbf{b}-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\frac{1}{3}\mu\nabla\nabla\cdot\mathbf{u}

D\mathrm{D}为物质导数，b\mathbf{b}为外力。如果外力是保守力（b=−∇Φb=-\nabla\Phi）且流体不可压缩（∇⋅u=0\nabla\cdot\mathbf{u}=0），且是 steady fluid 忽略μ\mu的影响，则可以将(u⋅∇)u=∇(u2/2)−u×(∇×u)(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\nabla(u^2/2)-\mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u})代入上式，并与u\mathbf{u}点乘，得到 Bernoulli 方程：

∇(ρu2/2+p+Φ)=0\nabla(\rho u^2/2+p+\Phi)=0

这个守恒量为一些定性分析提供方便。