这两天看数理方法的书学了一点最基本的流形上的微积分的知识，稍微对这方面和物理的关系有了一点了解。
20/2/8:
流形
流形就是一个空间，这个空间的局部长得像$\mathbb{R^n}$。这些局部通过一些地方缝起来盖满整个流形，每一个局部都通过一个参数化对应到Rn，这个参数化就叫chart，所有chart在一起叫atlas。流形的定义还要求所有缝合的地方都是$C^\infty$的。由于局部像Rn，所以可以看成流形每一个点都长着一个切着的向量空间，叫切空间。
切空间
流形上每一点都长出一个切空间，称呼这些向量空间为流形上长出来的一个向量丛（bundle）。为什么叫bundle呢？因为不同的点的向量不在同一个空间里，是不能加减的，相当于不是一类的对象。就好像一捆柴火里有很多根一样。切向量一般写成$X=X^{\mu} \partial_{\mu}$。可见它的分量系数是逆变的。
但是这种数学家的概念游戏听着还是有些不放心。考虑一些实际的例子。经典力学系统的位形空间一般叫M，即$\{q^i\}$，但完整描述系统需要$\left(q^{1}, q^{2}, \ldots, q^{n} ; \dot{q}^{1}, \dot{q}^{2}, \ldots, \dot{q}^{n}\right)$，后面一组坐标实际上就是生活在切空间中的。
余切空间
还有余切空间。这个就是切空间的对偶空间，基用dx表示。Cartan规定了一个记号约定：$d x^{\mu}\left(\partial_{\nu}\right)=\delta_{\nu}^{\mu}$。那么余切向量的分量系数就是协变的。余切丛在数学上看是一个连体婴儿的另一半，是很重要的东西。物理上，我刚学经典力学的时候觉得勒让德变换很鸡肋，像是买一送一的便宜货，但事实上却重要得很。怎么联系勒让德变换和切空间、余切空间呢？
- 勒让德变换：对f(x)，求导，写成p。有$x=g(p)$。而勒让德变换就是$f^*(x)=pg-f(g)$。
给定动能$T(v)=\frac{m v^{2}}{2}$，其勒让德变换就是$T^*=\frac{p^{2}}{2 m}$。从勒让德变换展示点线对偶的精神上说，速度生活在切空间中，动量是生活在余切空间中的。
李括号，李导数
4.1
既然不同点的切向量不能加减，怎么定义向量的导数呢？怎么定义张量的导数呢？这就要动用李导数。首先是李括号，它就是向量场的对易子：$[X, Y]^{\nu} \equiv X^{\mu}\left(\partial_{\mu} Y^{\nu}\right)-Y^{\mu}\left(\partial_{\mu} X^{\nu}\right)$。可以表示两个向量场在局部的差异。关于李括号有一个定理，这就是Frobenius定理。设想d维流形M上有个n<d维的切向量场，把每个点的向量场都放在一起，有两种代表性的情况：
- 对每个点都存在一个n维的子流形，这个子流形里头的点对应的低维向量场就在这子流形里面打转，出不去。但是把许多子流形排在一起，就能覆盖整个高维流形，这叫一个foliation。想象一个面包圈上戴了一排戒指，这就是d=2，n=1的情形之一。
- 对于高维流形上每一个点x，我们都可以找到一个办法，只需要沿着局部的低维向量场走，总能走到它邻域任意一个点。同样的，想象一个滑动变阻器，这就是d=2，n=1的情形之一。
对所有的情况，这些子流形的集合叫一个distribution（这个术语太滥用了。。）。如果对于高维流形的每一点都有$\left[X_{i}, X_{j}\right]=c_{i j}^{k}(x) X_{k}$，也就是说沿着向量场怎么走都出不去，这就说这个distribution是内卷的。其实和曹学的内卷精神上也不是一个概念。
Frobenius定理大概就是说光滑的内卷的distribution是完全可积的。可积就是说局部的向量场总能用$\sum_{\mu=1}^{n} X_{i}^{\mu} \partial_{\mu}$写出来，其中只有给定的d个$\partial _i$是非零的。并且，该命题的逆命题同样成立。这个定理并不反直觉，但是逆命题证明起来比较复杂。
4.2
在拉格朗日力学里面，我们通常对于“内卷”有不同的说法。我们早就学过完整约束和不（非）完整约束。在位形空间流形上加的完整约束就创造了一个内卷的distribution中的一个子流形。举例：圆周运动的约束$\mathbf{v} \cdot \mathbf{r}=0$把位置约束在确定半径上。而不完整约束就对应一个不可积系统：考虑桌子上的滚球。有质心位置的二维、旋转的三维，共五个自由度。这个时候无滑条件就是一个不完整约束。
4.3
李导数是在以上的概念基础上想出来的对流形上的张量求导的办法。首先，有三个基本的规矩：
- 对于标量场，有：$\mathcal{L}_{X} f \stackrel{\text { def }}{=} X f$
- 对于（逆变）向量场，有$\mathcal{L}_{X} Y \stackrel{\text { def }}{=}[X, Y]$
- 形式上有链式法则。
比如说，对于协变的度规g求李导数（几何上，这个可以理解成沿着一个向量场扭曲空间（$x^{\alpha} \rightarrow x^{\alpha}+\epsilon X^{\alpha}(x)$）对空间的几何带来的变化）。
由链式法则，$L_Xg(Y,Z) = (L_Xg)(Y,Z)+gL_XY+gL_XZ$。稍微变化一下，得到$(L_xg)(Y,Z)=Xg(Y,Z)-g([X,Y],Z)-g(Y,[X,Z])$，然后比较分量即可。最后的结果是
$\left(\mathcal{L}_{X} g\right)_{\mu \nu}=X^{\alpha} \partial_{\alpha} g_{\mu \nu}+g_{\mu \alpha} \partial_{\nu} X^{\alpha}+g_{\alpha \nu} \partial_{\mu} X^{\alpha}$
如果上式的结果为0，就说这个X产生了一个等距同构（isometry）。这个X就说是Killing矢量场。
外微分，外导数
5.1
现在我们再来看一看生活在切空间中的对象。小$Cartan$把$dx^\mu$所在的线性空间的元素叫做1-形式，$\Lambda^{p}\left(T^{*} M_{x}\right)$的元素叫做p-形式。构造p-形式的办法叫做wedge product，有时候也叫外积。举一个例子：$d x^{\mu} \wedge d x^{\nu}\left(\partial_{\alpha}, \partial_{\beta}\right)=\delta_{\alpha}^{\mu} \delta_{\beta}^{\nu}-\delta_{\beta}^{\mu} \delta_{\alpha}^{\nu}$。这种乘法的规矩满足$a \wedge b=(-1)^{p q} b \wedge a$，因为skew-symmetry的需要。操作这些p形式的导数就叫做外导数。有如下一些规矩：
- $d f(X)=X f$，其中f是一个函数（0-形式），X是一个向量场。
- $d(a \wedge b)=d a \wedge b+(-1)^{p} a \wedge d b$
- $d^{2}=0$（庞加莱引理）
- $d(\alpha a)=\alpha d a$
- $d \omega=0$表示这个形式是closed的
- $\omega=d \eta$表示这个形式是exact的
外导数有很多优点。其中之一，是它的旋度定义不依赖于维数。这使得斯托克斯公式非常自然。而且可以把它看做是带定向的体积元。
Cartan还总结了一些p形式作用于向量场的公式。前三个是：
$\begin{aligned} d f(X)&=X f\\d \eta(X, Y)=& X \eta(Y)-Y \eta(X)-\eta([X, Y]) \\ d \omega(X, Y, Z)=& X \omega(Y, Z)+Y \omega(Z, X)+Z \omega(X, Y) \\ &-\omega([X, Y], Z)-\omega([Y, Z], X)-\omega([Z, X], Y) \end{aligned}$
5.2
p-形式也可以有李导数，就像之前计算协变张量的李导数一样。事实上，有一个办法（记号）可以使得结果在形式上非常简洁。这就是说，我们写
$(i_{X} \omega)(\underbrace{\ldots \ldots}_{p-1 \text { slots }})=\omega(X, \underbrace{\ldots . .}_{p-1 \text { slots }})$
表示一个对X的缩并。可以证明$i_{X}(\eta \wedge \omega)=\left(i_{X} \eta\right) \wedge \omega+(-1)^{p} \eta \wedge\left(i_{X} \omega\right)$。这个时候李导数就写成$\mathcal{L}_{X} \omega=\left(d i_{X}+i_{X} d\right) \omega$。（证明：这个式子首先是对标量函数成立，然后是对1-形式成立，然后证明它是个导数（链式法则存在）就行了。）到这个地方我已经很晕了，我只会shutup and calculate，完全想象不出来这是在干什么了。
5.3
余切丛上的力学叫哈密顿力学，这个余切丛这时叫做相空间。作为余切丛的相空间可以被视为一个辛流形，也就是装备了闭合、非退化2-形式的光滑流形。闭合就是上文的closed。这个非退化就是说零空间不能更小了。我还不太清楚这两个条件的具体的重要性。这个2-形式$\omega=\frac{1}{2} \omega_{i j} d x^{i} d x^{j}$这时候叫做辛形式。在哈密顿力学里面，我们把辛形式写成$\omega=d p^{1} d q^{1}+d p^{2} d q^{2}+\cdots+d p^{n} d q^{n}$。我们有一个标量函数叫哈密顿H，它产生一个速度场，其定义为$d H=-i_{v_{H}} \omega=-\omega\left(v_{H},\right)$。要看出这个速度场的意义，我们把它写成
$v_{H}=\dot{q}^{i}|_H \frac{\partial}{\partial q^{i}}+\dot{p}^{i}|_H \frac{\partial}{\partial p^{i}}$
带进去解，就得到熟知的
$\dot{q}^{i}=\frac{\partial H}{\partial p^{i}}, \quad \dot{p}^{i}=-\frac{\partial H}{\partial q^{i}}$。
有一个叫达布定理说对于任何的x我们都能在它的邻域里面找到辛形式$\omega=d p^{1} d q^{1}+d p^{2} d q^{2}+\cdots d p^{n} d q^{n}$。余切丛的这一套写法比我们在物理课上的写法的高明之处在于相空间的那个流形是chart粘成的，实际上需要不断地做坐标变换去在每一个chart里面得到一个不同的$\{p, q\}$，而这一套写法不依赖于坐标，因此形式上更让数学家满意。
哈密顿力学里面有一个重要概念叫泊松括号。它的定义现在就是
$\left.\left\{H_{1}, H_{2}\right\} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{d }{d t}\right|_{H_{1}}H_2=v_{H_{1}} H_{2}=dH_2(v_{H_1})=\omega(v_{H_1}, v_{H_2})$
说实话，读这一段的数学，我很有一种感觉，好像我正在学习把
print(‘forza juve’)
改写成
# include<那啥> using namespace std; int main(*argc, **argv){cout«forza juve«endl; return 14226;}
一样。
协变导数
李导数、外导数不需要在流形之外引入额外的结构。但是还有一种导数，也就是协变导数，需要引入一个新结构，称为联络。下面首先介绍形式上的定义，然后说一下意义。协变导数的记号是$\nabla_{X} \equiv X^{\mu} \nabla_{\mu}$，它作用于标量函数还是$\nabla_{X} f=X f$，但是作用于向量场（用局部坐标系定义，$\mathbf{e}_{a}(x)=e_{a}^{\mu}(x) \partial_{\mu}$，这玩意在德语叫Vielbein，多腿儿，感觉气突克）时，要引入联络$\omega^{i}_{j k}(x)$，写成$\nabla_{\mathbf{e}_{k}} \mathbf{e}_{j}=\mathbf{e}_{i} \omega_{j k}^{i}$。注意，联络以及后面将要提到的克氏符，都不是张量。然后，这玩意作用于其他东西，仍然是靠链式法则推导，以及保证这玩意作用于一个张量的结果仍然是同类型的张量（虽然死记硬背一个形式规律更快一些）。
克氏符就是一个特殊的联络，也就是说$\nabla_{\mu} \mathbf{e}_{\nu} \equiv \nabla_{\mathbf{e}_{\mu}} \mathbf{e}_{\nu}=\mathbf{e}_{\lambda} \Gamma_{\nu \mu}^{\lambda}$，也就是$e_a^\mu=\delta_a^\mu$的时候对应的联络。这个时候，比如说对一个向量求协变导数，就
$\begin{aligned} \nabla_{\mu}\left(f^{\nu} \mathbf{e}_{\nu}\right) &=\left(\partial_{\mu} f^{\nu}\right) \mathbf{e}_{\nu}+f^{\nu} \nabla_{\mu} \mathbf{e}_{\nu} \\ &=\left(\partial_{\mu} f^{\nu}\right) \mathbf{e}_{\nu}+f^{\nu} \mathbf{e}_{\lambda} \Gamma_{\nu \mu}^{\lambda} \\ &=\mathbf{e}_{\nu}\left\{\partial_{\mu} f^{\nu}+f^{\lambda} \Gamma_{\lambda \mu}^{\nu}\right\} \end{aligned}$
然后省掉基，直接写成
$\nabla_{\mu} f^{\nu}=\partial_{\mu} f^{\nu}+f^{\lambda} \Gamma_{\lambda \mu}^{\nu}$
对于普遍形式的张量，推导的办法都是一样的。可以参考下式的结构：
$\nabla_{\mu} A_{\beta \gamma}^{\alpha}=\partial_{\mu} A_{\beta \gamma}^{\alpha}+\Gamma_{\lambda_{\mu}}^{\alpha} A_{\beta \gamma}^{\lambda}-\Gamma_{\beta \mu}^{\lambda} A_{\lambda \gamma}^{\alpha}-\Gamma_{\gamma \mu}^{\lambda} A_{\beta \lambda}^{\alpha}$
协变导数的意义就是平行移动。这个操作的意思就是说，整一个向量场X对应的曲线$\gamma: s \mapsto x^{\mu}(s)$，在流形上从x移动到$x+\epsilon X$之后，如果$\nabla_{X} Y=0$，这个移动对向量场Y来说就是平行移动。特别的，如果是一个无穷小沿着场x的平行移动，可以把Y的分量写成
$Y^{\nu} \rightarrow Y^{\nu}-\Gamma_{\lambda \mu}^{\nu} Y^{\lambda} \delta x^{\mu}$
克氏符（以及所有的联络）当然不是张量。观察$\nabla_{\mu} f^{\nu}=\partial_{\mu} f^{\nu}+f^{\lambda} \Gamma_{\lambda \mu}^{\nu}$，这里面左边是按张量那一套变化的，右边第一项不是。所以补齐这个差异的克氏符必然也不是个张量。另外，这两项分别对应”实际的“惯性运动和非惯性系下”表面的“惯性运动，所以直觉上克氏符可以表示惯性系的变化。从等效原理，也可以粗略地把它理解成描述引力的强度的一个东西。
20/2/15:
关于协变导数和李导数的区别和联系，我想要引用[知乎][https://www.zhihu.com/question/41140093]上的一个回答来说明：
滑翔的鸟看流水的速度就是李导数；世界上的航海家说道的航速就是协变导数；我们凝望着日月经天，它们的角速度里既有李导数（关于地球自转）又有协变导数（关于天球度量）。
所以李导数是处在运动中而不自知，协变导数是处在弯曲中而不自知。
这个运动就是向量场$X$；这个弯曲就是联络$\Gamma$。
p-形式的积分
想象向量x，y做成的平行四边形的面积为$\omega(\mathbf{x}, \mathbf{y})$，我们需要它满足面积这个概念需要具备的一些性质。
- $\omega(\lambda \mathbf{x}, \mu \mathbf{y})=(\lambda \mu) \omega(\mathbf{x}, \mathbf{y})$
- $\omega\left(\mathbf{x}_{1}+\mathbf{x}_{2}, \mathbf{y}\right)=\omega\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{y}\right)+\omega\left(\mathbf{x}_{2}, \mathbf{y}\right)$
- $\omega(\mathbf{x}, \mathbf{x})=0$
从后两条就可以看出来这个定义是skew-symmetric的。同样的，从向量定义体积，也是一个办法，也具有skew symmetry。因此，排列这些向量的顺序不可忽视。我们管这个顺序叫定向。如果我们想要在流形上做积分，至少需要先保证能够找到一个定向。但是，有些流形是不可定向的。比如克莱因瓶儿。最简单的一个确保定向存在的办法是找到全局缓变的一组基，但是这只是一个充分条件，比如球面就找不到这组基，这就是为什么我们的头发总有旋。在旋的中心，总是不能缓变的。所以退而求其次，对每个覆盖（chart）都找这组基，然后用图册（atlas）把流形盖起来，确保任意两个覆盖的交集都是连通的。老实说，这部分太数学了，就图一乐，有个感觉就好。
做积分的话，拿2-形式的积分来说，就是在流形上每一个点都有一组向量场的基，我们在每一点都用积分微元这个2-形式作用于这里的两个向量，并且把结果加起来，得到$\sum_{x \in \Omega} \omega\left(\mathbf{v}_{1}(x), \mathbf{v}_{2}(x)\right)$。
这个定义上，我们可以看到一点使用p-form的语言的好处。因为这时候面积元就变成了一个通向实数的映射，这使得我很久以前纠结过的jacobian的量纲问题不值得担心了。
如果遇到要做坐标变换的情况，由于此时$d x^{1} d x^{2}=\left(\frac{\partial x^{1}}{\partial y^{1}} \frac{\partial x^{2}}{\partial y^{2}}-\frac{\partial x^{2}}{\partial y^{1}} \frac{\partial x^{1}}{\partial y^{2}}\right) d y^{1} d y^{2}$，我们稍微一想，就知道它就是jacobian。
还有一点值得说明。流形嵌在一个高维空间$\mathbb{R}^d$里面，这个空间自带的度规也给了一个面积/体积/etc.的定义。如果高维空间的坐标有$x^{a}\left(\xi^{1}, \ldots, \xi^{p}\right)$，那么我们说这个高维空间诱导的度规为：$d s^{2} {\equiv} g(\cdot, \cdot) \equiv g_{\mu \nu} d \xi^{\mu} \otimes d \xi^{\nu}$，其元为$g_{\mu \nu}=\sum_{a=1}^{d} \frac{\partial x^{a}}{\partial \xi^{\mu}} \frac{\partial x^{a}}{\partial \xi^{\nu}}$。而所谓volume-form就是$d(\text { Volume })=\sqrt{g} d \xi^{1} \cdots d \xi^{p}$，可以验证，这个东西作为一个整体对坐标变换不变，这也表明了这个定义是靠谱的。
流形上的微积分的核心定理是斯托克斯定理
$\int_{\Omega} d \omega=\int_{\partial \Omega} \omega$
接下来我们看一些斯托克斯定理的应用。
拉回和推前
上图中，这个推前操作是从M的切丛到N的切丛的一个映射。容易知道，$\left(\phi_{\ast} X\right)^{\mu}=\frac{\partial \xi^{\mu}}{\partial x^{\nu}} X^{\nu}$，但要注意，虽然写法上没什么区别，但是这并不是同一点上的坐标变换——甚至不是同一个流形上的操作，前者的基底是$\partial _{\xi^\mu}$，后者的基底是$\partial_\mu$。因此，推前比坐标变换也更有趣。
那么什么是拉回呢？我们在N的余切丛和M的余切丛之间建立一个映射$\phi^{\ast}: \bigwedge^{p}\left(T^{\ast} N\right) \rightarrow \bigwedge^{p}\left(T^{\ast} M\right)$，我们把这个映射定义为$\left[\phi^{\ast} \omega\right]\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{p}\right)=\omega\left(\phi_{\ast} X_{1}, \phi_{\ast} X_{2}, \ldots, \phi_{\ast} X_{p}\right)$，其中$\omega$是N的余切丛的一个元素：$\omega=\frac{1}{p{!}} \omega_{i_{1} \ldots i_{p}}(\xi) d \xi^{i_{1}} \ldots d \xi^{i_{p}}$。那么，就可以知道，
$\phi^\ast\omega=\frac{1}{p!} \omega_{i_{1} i_{2} \ldots i_{p}}[\xi(x)] \frac{\partial \xi^{i_{1}}}{\partial x^{\mu_{1}}} \frac{\partial \xi^{i_{2}}}{\partial x^{\mu_{2}}} \cdots \frac{\partial \xi^{i_{p}}}{\partial x^{\mu_{p}}} d x^{\mu_{1}} \cdots d x^{\mu_{p}}$
物理上有这样的例子（我以前没有听说过这些东西，所以我看资料的时候半懂不懂，希望以后能理解得好些）：
考虑一个光滑映射$n: \mathbb{R}^{2} \rightarrow S^{2}$，把平面的点映射到球面：$x \mapsto \mathbf{n}(x)$。球面上的面元2-形式（可以验证）即为$\Omega=\frac{1}{2} \mathbf{n} \cdot(d \mathbf{n} \times d \mathbf{n}) \equiv \frac{1}{2} \epsilon_{i j k} n^{i} d n^{j} d n^{k}$。定义一个拉回映射$n^\ast$：
$F \equiv n^{*} \Omega=\frac{1}{2}\left(\epsilon_{i j k} n^{i} \partial_{\mu} n^{j} \partial_{\nu} n^{k}\right) d x^{\mu} d x^{\nu}=\left(\epsilon_{i j k} n^{i} \partial_{1} n^{j} \partial_{2} n^{k}\right) d x^{1} d x^{2}$
其中F就是平面上的面元。
这个东西叫“拓扑荷密度”。我浅薄地感觉它是常常用来类比拓扑变化的橡皮膜变换中橡皮膜面密度在变换前后的比值。同时，还可以计算“绕数”
$N=\frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb{R}^{2}}\left\{\epsilon_{i j k} n^{i} \partial_{1} n^{j} \partial_{2} n^{k}\right\} d x^{1} d x^{2}$
这个N表示最初的平面全部映到球面之后的像能把单位球面包几圈。所以叫绕数。如果我们从某种途径把另一个球面和之前的平面联系起来，使得$x \mapsto \mathbf{n}(x)$是球面到球面的映射，那么这个东西直觉上（事实上也是）是整数。
还可以注意到，N是一个“拓扑不变量”。因为$\delta F=n^{*}[\mathbf{n} \cdot(d(\delta \mathbf{n}) \times d \mathbf{n})]$事实上是exact的：
$\delta F=d\left\{n^{*}[\mathbf{n} \cdot(\delta \mathbf{n} \times d \mathbf{n})]\right\} \equiv d\left\{\epsilon_{i j k} n^{i} \delta n^{j} \partial_{\mu} n^{k} d x^{\mu}\right\}$
因此
$\delta N=\int_{S^{2}} \delta F=\int_{\partial S^{2}} \epsilon_{i j k} n^{i} \delta n^{j} \partial_{\mu} n^{k} d x^{\mu}$
而由于$\partial S^2$是空集，$N$也就不变（看这个过程，N是绝热不变量）。我的第一反应是：所以N在什么情况下会变化？查了一些资料之后我才发现，我以前从来没思考过两个东西“拓扑”上不一样到底是什么意思（或者说，除了小学生都知道的亏格之外，拓扑不变量有哪些），这简直太愚蠢了。
*目前我暂时说N变化，当映射n变得和之前不同伦。*但是不知道对不对。
20/2/20：
hopf映射
考虑空间$\mathbb{C} P^{n}$，它是n+1维复空间中的射线的集合。特别的，$\mathbb{C} P^{1}$可以对应$S^2$。
有一种比较物理的对应方式，是取$CP^1$中的等价类$\left[\zeta_{1}, \zeta_{2}\right]$（这个东西和$[\lambda \zeta_1, \lambda\zeta_2]$等价），当前者非零，即写$\zeta_{2} / \zeta_{1}=\left|\zeta_{2} / \zeta_{1}\right| e^{i \phi}$，把这个复数放在z=0平面上，然后与球的南极连线，取该连线与球面的交点即可。当前者为零，直接对应南极，依然光滑。所以就有
$\zeta_{2} / \zeta_{1}=e^{i \phi} \tan \theta / 2$
考虑球面上有
$n^{1}=\sin \theta \cos \phi$
$n^{2}=\sin \theta \sin \phi$
$n^{3}=\cos \theta$
我们稍微做一些计算，得到
$n^{1}=\frac{\bar{\zeta}_{1} \zeta_{2}+\bar{\zeta}_{2} \zeta_{1}}{\left|\zeta_{1}\right|^{2}+\left|\zeta_{2}\right|^{2}}$
$n^{2}=\frac{1}{i}\left(\frac{\bar{\zeta}_{1} \zeta_{2}-\bar{\zeta}_{2} \zeta_{1}}{\left|\zeta_{1}\right|^{2}+\left|\zeta_{2}\right|^{2}}\right)$
$n^{3}=\frac{\left|\zeta_{1}\right|^{2}-\left|\zeta_{2}\right|^{2}}{\left|\zeta_{1}\right|^{2}+\left|\zeta_{2}\right|^{2}}$
定义$\left(\begin{array}{c}{z_{1}} \\ {z_{2}}\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|\zeta_{1}\right|^{2}+\left|\zeta_{2}\right|^{2}}}\left(\begin{array}{c}{\zeta_{1}} \\ {\zeta_{2}}\end{array}\right)$（这是一个旋量。旋量是一个大坑，我先不去动他），就可以发现这组坐标可以从所定义的量和泡利矩阵得到：
$n^{1}=\left(\bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}\right)\left(\begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{z_{1}} \\ {z_{2}}\end{array}\right)$
$n^{2}=\left(\bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}\right)\left(\begin{array}{cc}{0} & {-i} \\ {i} & {0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{z_{1}} \\ {z_{2}}\end{array}\right)$
$n^{3}=\left(\bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}\right)\left(\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{z_{1}} \\ {z_{2}}\end{array}\right)$
泡利矩阵在一个归一化的旋量z下的期望对应一个三维的单位向量。然而这个旋量z又对应一个四维空间中的球面$S^3$。这样，上面这个对应就构成一个$S^3$到$S^2$的映射：
$\mathrm{Hopf}: S^{3} \rightarrow S^{2}$
其中$(z_1, z_2)$和$\left(z_{1} e^{i \theta}, z_{2} e^{i \theta}\right)$都被映射到同一个点。
现在，回想之前关于绕数的事情，那时是从$\mathbb{R}^2$映射到$S^2$，现在我们可以搞$\mathbb{R}^{2} \stackrel{\psi}{\rightarrow} S^{3} \stackrel{\text { Hopf }}{\rightarrow} S^{2}$，其中$\psi(x) \equiv\left(z_{1}(x), z_{2}(x)\right)^{T}$。我们可以把拓扑荷密度里面的变量换成z，经过冗长的计算，得到
$\begin{aligned} F &=\frac{2}{i} \sum_{i=1}^{2}\left(\partial_{1} \bar{z}_{i} \partial_{2} z_{i}-\partial_{2} \bar{z}_{i} \partial_{1} z_{i}\right) d x^{1} d x^{2} \\ &=d\left\{\frac{1}{i} \sum_{i=1}^{2}\left(\bar{z}_{i} \partial_{\mu} z_{i}-\left(\partial_{\mu} \bar{z}_{i}\right) z_{i}\right) d x^{\mu}\right\} \end{aligned}$
把F写成全微分，就可以用斯托克斯公式计算绕数N的值。由于在x很大（趋于无穷）的时候，如果我们要求z(x)是连续映射，那么对应的n就得是一个固定的值，这时就意味着z1和z2的辐角是一样的：$\left(z_{1}, z_{2}\right)=e^{i \theta}\left(c_{1}, c_{2}\right)$。所以
$\frac{1}{2 i} \sum_{i=1}^{2}\left(\bar{z}_{i} \partial_{\mu} z_{i}-\left(\partial_{\mu} \bar{z}_{i}\right) z_{i}\right) \rightarrow\left(\left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}\right) d \theta=d \theta$
这样，
$N=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2}\left(\bar{z}_{i} \partial_{\mu} z_{i}-\left(\partial_{\mu} \bar{z}_{i}\right) z_{i}\right) d x^{\mu}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\Gamma} d \theta$
从这里看出N确实是一个整数。数学家管N不同的情况叫不同的同伦类（和我之前的猜测一样）。（关于同伦和同胚的区别，知乎上有人讲得好。中日关系就是同伦不同胚的。）管理n维球面映射到某一流形M的同伦类叫$\pi_n(M)$，比如说$\pi_{2}\left(S^{2}\right)=\mathbb{Z}$。
绕数这样一个拓扑量用来衡量$\mathbb{R}^2$到S2（或者说，S2到S2）的映射，看起来很自然。但是，hopf映射这样一个S3到S2的映射，也有它的同伦类：hopf指数$\pi_{3}\left(S^{2}\right)$。
回忆S2到S2的映射。考虑海森堡模型（但自旋能取三维），里头粒子的自旋连续变化。在一张二维的平面上，有许多方向$\mathbf{n}(x)$。每次这个$\mathbf{n}(x)$在某一个区域翻一圈，就意味着对应的映射的绕数加了（或者减了，如果翻的方向不一样，但先不管这些）1。这种区域物理上叫Skyrmion，听名字就很skr，我们叫他skr子。对于三维，我们增加一个时间，变成$\mathbf{n}(x,t)$，那么对绕数起变化的一个一个区域就对应于一个一个skr子的世界线。
想象一捆导线，扭了N转，然后把两头接上。顺着电流流动的方向看，导线是逆时针扭的。每根导线电流为$\delta I_i$（总电流为$I$，每根电线扭一次都相当于绕着电流$I$转了一圈）。事实是，仅通过该系统的磁场，我们就可知道N的数值。因为沿着每根电线积分：
$\sum_{\text {wires } i} \delta I_{i} \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{r}_{i}=\int \mathbf{B} \cdot \mathbf{J} d^{3} x=\int \mathbf{B} \cdot(\nabla \times \mathbf{B}) d^{3} x=N I^{2}$
顺着这个思路，定义一个拓扑流密度
$J^{\sigma}=\frac{1}{2} \epsilon^{\sigma \mu \nu} \epsilon_{i j k} n^{i} \partial_{\mu} n^{j} \partial_{\nu} n^{k}$
这玩意满足$\int_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{S}=\int_{S} F$。
回到skr子的问题。单个skr子的拓扑流是$4\pi$，对应$\delta I_i$。每一个skr子的世界线都对应着上文的一捆电线，里面的每一个 $\mathbf{n}(x_i,t)$ 都对应着上文的一根电线。把$\mathbb{R}^3$变成S3，电线两头就接起来。上文的磁场B，相当于存在一个量A，使得$dA=F$（来自斯托克斯定律）。那么hopf指数
$N_{\text {Hopf }}=\frac{1}{I^{2}} \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathbf{B} \cdot \mathbf{J} d^{3} x=\frac{1}{16 \pi^{2}} \int_{\mathbb{R}^{3}} A F = N_{skr}\cdot \text{wind}_{skr}$
也将是一个整数。换句话说，
$\pi_{3}\left(S^{2}\right)=\mathbb{Z}$
skr子，包括同伦类（实际上是同伦群）在物理的很多分支都有应用。这些分支我一个都不懂。或许以后感兴趣了会了解一点罢。数学很有趣，就是太难了。